一、 二進位 (Binary)

電腦的世界本質上是由 0 與 1 構成的高低電位訊號。我們在螢幕上看到的文字、圖片或加密後的密文，在底層運算時都只是一連串的二進位資料：

• 位元 (bit)：電腦最小的資料單位，數值非 0 即 1。
• 位元組 (byte)：電腦處理資料的基本單位，$1\text{ byte} = 8\text{ bits}$（例如 01000001 代表 ASCII 碼中的字元 'A'）。

二、 位元邏輯運算：XOR（互斥或）

在電腦的二進位邏輯運算中（如 AND、OR、NOT 等），XOR（Exclusive OR，互斥或） 扮演了密碼學中最核心的角色。它的數學符號記作 $\oplus$。

XOR 的運算規則非常簡單直覺：「相同為 0，不同為 1」。

三、 為什麼密碼學特別鍾愛 XOR？

XOR 具備一項完美的數學特性——可逆性（Reversibility）。當我們對同一組資料用相同的金鑰進行兩次 XOR 運算時，資料就會還原回原本的樣子：

• 加密(Encryption)：明文 ⊕ 金鑰 = 密文
• 解密(Decryption)：密文 ⊕ 金鑰 = 明文
  

四、 Java 中如何實作 XOR 運算？

在 Java 語言中，XOR 運算主要分為以下三種常見層次：

1. 基本型別的 XOR 運算（原生 ^ 運算子）

Java 對所有整數型別（byte, short, char, int, long）都支援 ^ 位元運算子。

public static void main( String[] args ) throws CharacterCodingException {
    int a = 5;  // 二進位: 0101
    int b = 3;  // 二進位: 0011
    System.out.println("a:"+toBinary4(a));
    System.out.println("b:"+toBinary4(b));
    int c = a ^ b; // 二進位: 0110 -> 10 進位的 6
    System.out.println("a ^ b:"+toBinary4(c));

    // 驗證可逆性
    int restored = c ^ b; // 6 ^ 3 -> 0110 ^ 0011 = 0101 (5)
    System.out.println("c ^ b:"+toBinary4(restored));

}
public static String toBinary4(int value) {
    int low4 = value & 0xFF;
    return String.format("%4s", Integer.toBinaryString(low4)).replace(' ', '0');
}

2. 密碼學實務：位元組陣列 (byte[]) 的 XOR 加解密

在密碼學中，我們處理的資料（明文、密文、金鑰）都是二進位的 byte[]。由於 Java 的位元運算子會在運算時自動將 byte 提升（Promotion）為 int**，因此在將結果賦值回 byte 時，必須進行強制型別轉換 (Type Cast)**。

/**
 * 對輸入的 byte 陣列與 Key 進行逐位元 XOR 運算
 */
public static byte[] xorProcess(byte[] input, byte[] key) {
    byte[] result = new byte[input.length];

    for (int i = 0; i < input.length; i++) {
        // 注意：(byte) 強制轉型不可或缺，因為 ^ 運算會自動轉成 int
        result[i] = (byte) (input[i] ^ key[i % key.length]);
    }

    return result;
}

3. 大數的 XOR 運算 (java.math.BigInteger)

在非對稱密碼學（如 RSA、ECC）或高維度演算法中，我們經常需要處理幾百個 Bytes 的超大數字。Java 的 BigInteger 提供了內建的 .xor() 方法：

import java.math.BigInteger;

public class BigIntegerXorDemo {
    public static void main(String[] args) {
        BigInteger num1 = new BigInteger("123456789012345678901234567890");
        BigInteger num2 = new BigInteger("987654321098765432109876543210");

        // 大數 XOR 運算
        BigInteger xorResult = num1.xor(num2);
      
        // 驗證還原
        BigInteger restoredNum1 = xorResult.xor(num2);

        System.out.println("XOR 結果: " + xorResult);
        System.out.println("還原驗證: " + restoredNum1.equals(num1)); // true
    }
}

Reference

• 世界第一簡單密碼學 - 三谷政昭、佐藤伸一